;
aula 05

Movimento Circular e Uniforme

Os movimentos angulares podem ser relacionados com movimentos lineares em função do raio da circunferência. O valor de uma grandeza linear pode ser escrito como o produto de uma grandeza angular e o raio R de uma circunferência.

\[S\ =\ \theta \ \cdot \ r\ \ \ \ \ \ \ \ \ (01)\]

\[V\ =\ \omega \ \cdot \ r\ \ \ \ \ \ \ \ \ (02)\]

\[a\ =\ \alpha \ \cdot \ r\ \ \ \ \ \ \ \ \ (03)\]

Onde:

s = deslocamento linear (m)

θ = deslocamento angular (rad)

v = velocidade linear (m/s)

ω = velocidade linear (rad/s)

a = aceleração linear (m/s²)

α = aceleração angular (rad/s²)

Período e Frequência

O período é definido como o tempo necessário para o móvel completar uma rotação completa (2π rad) e a frequência é o número de rotações realizadas e um determinado período. Por definição têm-se:

\[\text{ }\!\!\omega\!\!\text{ }\ \text{=}\ \frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{T}}\]

Onde:  T = Período do movimento; ω = Frequência do movimento.

Movimento Circular Uniforme e Uniformemente Variado

Assim como nos outros movimentos, é possível determinar a posição, velocidade e aceleração de um corpo em movimento circular pelas funções horárias.

\[\begin{align}   & \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\ \text{=}\ {{\text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }}_{\text{0}}}\ \text{+}\ \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ }\ \cdot \ \text{t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(04)} \\  & \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\ \text{=}\ {{\omega }_{\text{0}}}\ \text{+}\ \alpha \ \cdot \ \text{t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(05)} \\  & \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\ \text{=}\ {{\text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }}_{\text{0}}}\ \text{+}\ {{\text{ }\!\!\omega\!\!\text{ }}_{\text{0}}}\ \cdot \ \text{t}\ \text{+}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\ \cdot \ \frac{{{\text{t}}^{\text{2}}}}{\text{2}}\ \ \ \ \ \ \text{(06)} \\  & {{\omega }^{\text{2}}}\ \text{=}\ \omega _{0}^{2}\ \text{+}\ \text{2}\ \cdot \ \alpha \ \cdot \ \Delta \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(07)} \\ \end{align}\]

Percebe-se que as equações horárias do movimento circular são análogas às equações horárias dos movimentos retilíneos já estudados.

Aceleração Centrípeta

O módulo da velocidade em um movimento circular uniforme é constante; contudo, a direção e o sentido do vetor velocidade é variável e para que isso ocorra, é necessária a presença de uma aceleração, conhecida como aceleração centrípeta (aponta para o centro da circunferência).

\[\begin{align}   &{{\text{a}}_{\text{cp}}}\ \text{=}\ \frac{{{\text{v}}^{\text{2}}}}{\text{r}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(08)} \\  &{{\text{a}}_{\text{cp}}}\ \text{=}\ {{\text{ }\!\!\ \!\!\text{ω}}^{\text{2}}}\ \cdot \ \text{r}\ \ \ \ \ \ \ \ \text{(09)} \\ \end{align}\]

Movimentos Concêntricos

Para corpos em movimento circular concêntrico, tem-se que ambos possuem velocidades angulares idênticas, ou seja:

\[\text{ω\(_1\)}~\text{=}~\text{ω\(_2\)}\]

Este tipo de movimento pode ser observado por exemplo em 2 discos acoplados por um único eixo.

Transmissão do Movimento Circular Uniforme

Para um movimento transmitido, tem-se que a velocidade escalar (linear) de ambos os corpos rotacionais é idêntica, ou seja:

\[\text{ω\(_1\)}~·~\text{r\(_1\)}~\text{=}~\text{ω\(_2\)}~·~\text{r\(_2\)}\]

Este tipo de transmissão pode ser observado em engrenagens, correias e correntes, por exemplo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

(PUC-RS) A frequência e o período dos minutos de um relógio são, respectivamente:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

01

(UFRS) Um corpo em movimento circular uniforme completa 20 voltas em 10 segundos. O período (em s) e a frequência (em \({{s}^{-1}}\)) do movimento são, respectivamente:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

02

(UFSM-RS) Um trator tem as rodas traseiras maiores do que as dianteiras e desloca-se com velocidade constante. Pode-se afirmar que, do ponto de vista do tratorista, os módulos das velocidades lineares de qualquer ponto das bandas de rodagem das rodas da frente (vf) e de trás (vt) e os módulos das velocidades angulares das rodas da frente (Wf) e de trás (Wt) são

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

03

(UEJF-MG) Um velocímetro comum de carro mede, na realidade, a velocidade angular do eixo da roda, e indica um valor que corresponde à velocidade do carro. O velocímetro para um determinado carro sai da fábrica calibrado para uma roda de 20 polegadas de diâmetro (isso inclui o pneu). Um motorista resolve trocar as rodas do carro para 22 polegadas de diâmetro. Assim, quando o velocímetro indica 100km/h, a velocidade real do carro é:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

04

(FUVEST) A Estação Espacial Internacional mantém atualmente uma órbita circular em torno da Terra, de tal forma que permanece sempre em um plano, normal a uma direção fixa no espaço. Esse plano contém o centro da Terra e faz um ângulo de 40° com o eixo de rotação da Terra. Em um certo momento, a Estação passa sobre Macapá, que se encontra na linha do Equador. Depois de uma volta completa em sua órbita, a Estação passará novamente sobre o Equador em um ponto que está a uma distância de Macapá de, aproximadamente,

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

05

(UFU-MG) Um relógio com mecanismo defeituoso atrasa 10 minutos a cada hora. A velocidade angular média do ponteiro maior desse relógio, quando calculada com o uso de um relógio sem defeitos, vale, em rad/s,

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

06

(UFPR-PR) Recentemente, o ônibus espacial Discovery levou tripulantes ao espaço para realizarem reparos na estação espacial internacional. A missão foi bem-sucedida e o retorno ocorreu com segurança. Antes de retornar, a nave orbitou a Terra a cerca de 400 km de altitude em relação a sua superfície, com uma velocidade tangencial de módulo 26000 km/h. Considerando que a órbita foi circular e que o raio da Terra vale 6400 km, qual foi o número de voltas completas dadas em torno da Terra num período de 6,8π horas?

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

07

(UFJF-MG) No ato de manobrar seu carro para estacionar, uma motorista deixa um dos pneus raspar no meio fio. Com isso, uma pequena mancha branca fica no pneu. À noite, o carro está passando em frente a uma casa noturna iluminada por uma lâmpada estroboscópica com frequência de 5 Hz. Nessa situação, uma pessoa olha e tem a impressão de que o pneu com a mancha branca está girando como se o carro estivesse se movendo para trás, embora ele esteja deslocando-se para frente. Uma possível razão para isto é que a frequência de rotação do pneu é

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

08

(UFAM) Duas partículas A e B descrevem movimentos circulares e uniformes, no mesmo sentido, sobre circunferências concêntricas (figura), com períodos iguais a TA = 15 s e TB = 10 s, respectivamente.

Para que as partículas retornem à configuração inicial mostrada na figura, depois de algum tempo, o menor número de voltas, NA e NB, que cada uma deve realizar é:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

09

(FGV-SP) Toda caneta esferográfica possui em sua ponta uma pequena esfera feita de liga de tungstênio, cuja finalidade é transferir a tinta do reservatório para o papel. Quando um desenhista traça uma linha reta, transladando sua caneta com velocidade constante v = 0,2 m/s, a pequena esfera de 0,8 mm de diâmetro gira sobre seu centro com velocidade angular ω, em rad/s, de valor:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

10

EXERCÍCIOS EXTRAS

(MACKENZIE-SP) Um menino percorre, de bicicleta, uma pista circular. Sua velocidade escalar é constante e a frequência do movimento é igual à do ponteiro dos segundos, de um relógio convencional que funciona normalmente. O raio da trajetória descrita é 96 m e o espaço percorrido pelo menino, durante 1,0 minuto, é aproximadamente:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

01

(PUC-SP) Lucas foi presenteado com um ventilador que, 20s após ser ligado, atinge uma frequência de 300 rpm em um movimento uniformemente acelerado. O espírito científico de Lucas o fez se perguntar qual seria o número de voltas efetuadas pelas pás do ventilador durante esse intervalo de tempo. Usando seus conhecimentos de Física, ele encontrou:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

02

(PASUSP) Uma bicicleta tem a roda dianteira com raio 27 cm e a roda traseira com raio 33 cm. Estando a bicicleta parada, dois pontos A e B são marcados, nas rodas dianteira e traseira, nos respectivos pontos de contato com o solo, conforme a figura.

Depois de a bicicleta percorrer uma distância d, os pontos A e B voltam a ficar, simultaneamente, em contato com o solo. Assumindo que não há escorregamento das rodas da bicicleta, o menor valor de d, em metros, para o qual essa situação acontece, é:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

03

(UERJ) A distância média entre o Sol e a Terra é de cerca de 150 milhões de quilômetros. Assim, a velocidade média de translação da Terra em relação ao Sol é, aproximadamente, de:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

04

(MACK-SP) Devido ao movimento de rotação da Terra, uma pessoa sentada sobre a linha do Equador tem velocidade escalar, em relação ao centro da Terra, igual a: Adote: Raio equatorial da Terra = 6 300 km e π = 22/7

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

05

(FMTM MG) Com a finalidade de destacar a rapidez de uma serra circular em cortar pedras e cerâmicas, um folheto ressalta uma noção confusa, ao explicar que a máquina, muito rápida, gira com velocidade de 13 000 rpm. De fato, a informação dada é a frequência da máquina e não sua velocidade. O folheto ficaria correto e coerente se ressaltasse a velocidade angular da máquina que, em rad/s, corresponde a admita π = 3.

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

06

(UFRR) As rodas de um automóvel, com 60 cm de diâmetro, executam 2.000/ π rpm. A velocidade escalar desse automóvel, em km/h, vale:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

07

(UFPR) Um ponto em movimento circular uniforme descreve 15 voltas por segundo em uma circunferência de 8,0 cm de raio. A sua velocidade angular, o seu período e a sua velocidade linear são, respectivamente:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

08

(FAAP) Dois pontos A e B situam-se respectivamente a 10 cm e 20 cm do eixo de rotação da roda de um automóvel em movimento uniforme. É possível afirmar que:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

09

(UFCE) Um automóvel se desloca em uma estrada horizontal com velocidade constante de modo tal que os seus pneus rolam sem qualquer deslizamento na pista. Cada pneu tem diâmetro D = 0,50 m, e um medidor colocado em um deles registra uma frequência de 840 rpm. A velocidade do automóvel é de:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

10

(UFRGS/2011) Um satélite geoestacionário está em órbita circular com raio de aproximadamente 42.000 km em relação ao centro da Terra. Sobre esta situação, são feitas as seguintes afirmações. (Considere o período de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo igual a 24h.) Sobre esta situação, são feitas as seguintes afirmações.

I - O período de revolução do satélite é de 24h.

II - O trabalho realizado pela Terra sobre o satélite é nulo.

III - O módulo da velocidade do satélite é constante e vale 3500π km/h.

Quais estão corretas?

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

11

(UFPB) Na modalidade de arremesso de martelo, o atleta gira o corpo juntamente com o martelo antes de arremessá-lo. Em um treino, um atleta girou quatro vezes em três segundos para efetuar um arremesso. Sabendo que o comprimento do braço do atleta é de 80 cm, desprezando o tamanho do martelo e admitindo que esse martelo descreve um movimento circular antes de ser arremessado, é correto afirmar que a velocidade com que o martelo é arremessado é de:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

12

(UFRGS) Levando-se em conta unicamente o movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo imaginário, qual é aproximadamente a velocidade tangencial de um ponto na superfície da Terra, localizado sobre o equador terrestre? (Considere π = 3,14; raio da Terra RT = 6.000 km.)

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

13

(PUCRJ) Um satélite geoestacionário encontra-se sempre posicionado sobre o mesmo ponto em relação à Terra. Sabendo-se que o raio da órbita deste satélite é de 36 × 10³ km e considerando-se π = 3, podemos dizer que sua velocidade é:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

14

(PUCRJ) O ponteiro dos minutos de um relógio tem 1 cm. Supondo que o movimento deste ponteiro é contínuo e que π = 3, a velocidade de translação na extremidade deste ponteiro é:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

15

(UERJ) Segundo o modelo simplificado de Bohr, o elétron do átomo de hidrogênio executa um movimento circular uniforme, de raio igual a 5,0 × 10\(^{-11}\) m, em torno do próton, com período igual a 2 × 10\(^{-15}\) s. Com o mesmo valor da velocidade orbital no átomo, a distância, em quilômetros, que esse elétron percorreria no espaço livre, em linha reta, durante 10 minutos, seria da ordem de:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

16

(PUCRJ) Um ciclista pedala em uma trajetória circular de raio R = 5 m, com a velocidade de translação v = 150 m/min. A velocidade angular do ciclista em rad/min é:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

17

(PUCRJ) Um menino passeia em um carrossel de raio R. Sua mãe, do lado de fora do carrossel, observa o garoto passar por ela a cada 20 s. Determine a velocidade angular do carrossel em rad/s.

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

18

(UFPB) Em uma bicicleta, a transmissão do movimento das pedaladas se faz por meio de uma corrente, acoplando um disco dentado dianteiro (coroa) a um disco dentado traseiro (catraca), sem que haja deslizamento entre a corrente e os discos. A catraca, por sua vez, é acoplada à roda traseira de modo que as velocidades angulares da catraca e da roda sejam as mesmas (ver a seguir figura representativa de uma bicicleta).

Em uma corrida de bicicleta, o ciclista desloca-se com velocidade escalar constante, mantendo um ritmo estável de pedaladas, capaz de imprimir no disco dianteiro uma velocidade angular de 4 rad/s, para uma configuração em que o raio da coroa é 4R, o raio da catraca é R e o raio da roda é 0,5 m. Com base no exposto, conclui-se que a velocidade escalar do ciclista é:

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

19

(ENEM) Na madrugada de 11 de março de 1978, partes de um foguete soviético reentraram na atmosfera acima da cidade do Rio de Janeiro e caíram no Oceano Atlântico. Foi um belo espetáculo, os inúmeros fragmentos entrando em ignição devido ao atrito com a atmosfera brilharam intensamente, enquanto “cortavam o céu”. Mas se a reentrada tivesse acontecido alguns minutos depois, teríamos uma tragédia, pois a queda seria na área urbana do Rio de Janeiro e não no oceano.

De acordo com os fatos relatados, a velocidade angular do foguete em relação à Terra no ponto de reentrada era

Parabéns! Respostas enviadas. Aguarde.
Oops! Something went wrong while submitting the form.

20

Aula Concluída

Você chegou ao fim dessa aula com sucesso!
Selecione o botão avançar para seguir para a próxima aula.

Avançar

Unidade Concluída

Selecione o botão "Avançar" para continuar.

Avançar